1.22.6. Распределение Стьюдента

Распределение вероятностей случайной величины

называется распределением Стьюдента (Student’s t-distribution) с n степенями свободы, если случайные величины ? и ? независимы, ? имеет стандартное нормальное распределение, а ? – распределение х² с n степенями свободы.

Свойства распределения Стьюдента

1. Если случайная величина t имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы, то

Асимметрия распределения Стьюдента равна 0.

2. При возрастании числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению. При этом распределение Стьюдента имеет более тяжелые ветви, чем стандартное нормальное распределение. На рис. 1.26 изображены графики плотности стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с тремя степенями свободы.

3. Критическим значением распределения Стьюдента с и степенями свободы называют число t_a(n), удовлетворяющее условию:

где ? – заданная вероятность.

Критические значения распределения Стьюдента указаны в табл. 1.3.

4. Если случайные величины ?₁, ?₂…., ?_n взаимно независимы и распределены нормально с параметрами (а, ?), то случайная величина

Пример. 1.59. В условиях примера 1.58 найдем доверительный интервал для ожидаемой доходности с надежностью 95 %.

Так как

Согласно табл. 1.3, критическое значение распределения Стьюдента t_0,025(9) = 2, 262.

Следовательно,

Таким образом, с надежностью 95 % ожидаемая доходность казначейских облигаций находится между 6,57 и 6,67 %.