1.29. Основы теории экстремальных значений

Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин: ?₁, ?₂…., ?_n…. с функцией распределения F(x).

Можно рассмотреть новую последовательность случайных величин {M_n}, где M_n = max {?₁, ?₂…., ?_n….}, n = 1, 2, 3…..

Функция распределения случайной величины M_n определяется следующим образом:

Теорема Фишера-Типпета

Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин ?₁, ?₂…., ?_n…..

Следствие из теоремы Фишера – Типпета

Если случайные величины ?₁, ?₂, …, ?_n независимы и одинаково распределены, а n достаточно велико, то функция распределения случайной величины M_n = max{?₁, ?₂, …, ?_n} практически совпадает с функцией обобщенного распределения экстремальных значений (при подходящем выборе параметров ?, ? и ?).

Предположим, что случайная величина M_n = max{?₁, ?₂, …, ?_n} имеет распределение Фреше, т. е.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Плотность распределения случайной величины M_n имеет следующий вид (рис. 1.32).

2. Математическое ожидание и дисперсии случайной величины M_n можно найти по формулам:

Параметры ?, ?, ? можно подобрать на основе статистических данных.

Для измерений экстремальных событий может быть использовано распределение Парето (Pareto distribution), которое определяется функцией:

Для большого класса случайных величин ? при достаточно большом пороговом значении u справедливо равенство:

Соотношение (1.85) позволяет оценивать «хвосты» распределений на основе статистических данных.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.